RELACIONES CERRADURA
En matemáticas y en computación las relaciones de equivalencia juegan un papel muy importante, en la mayoría de las estructuras matemáticas que manejamos la igualdad es en relidad una equivalencia, como por ejemplo en fracciones.
En muchas ocasiones una relación no cumple alguna de las propiedades de equivalencia, pero hay relaciones que la incluyen y que sí cumplen la propiedad. De todas las relaciones la menor posible se llama su cerradura.
Definición. Sea R una relación en un conjunto A
Una cerradura reflexiva ref( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es reflexiva, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R ))
Una cerradura simétrica sim( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es simétrica, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R ))
Una cerradura transitiva trans( R ) de R en A es la “menor” relación que la incluye y que es transitiva, con símbolos:
(∀ R’ reflexiva) (A ⊆ R’ ⊆ ref( R )) ⇒ R’ = ref( R )
La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de una relación es muy simple de encontrar, solamente se le agregan los pares necesarios de una forma directa. Cuando conocemos la matriz asociada a la relación, la forma de encontrar las cerraduras anterores es muy simple.
Teorema: Sea R una relación en A y MR su matriz asociada. La cerradura reflexiva y la cerradura simétrica de R son únicas y se pueden obtener mediante las matrices siguientes
Mref( R ) = MR ∪ In, donde In es la matriz identidad de orden |A|.
Msim( R ) = [a ij], donde a ji = 1 si a ij = 1 en MR.
La Matriz identidad In de orden n es:
{$ {(1,…,0),(vdots,ddots,vdots),(0,…,1)] $}
osea que para lograr la cerradura reflexiva debmos agregar 1′s en la diagonal, para la cerradura simétrica debemos agregar 1′s en luagres simétricos a la diagonal principal donde existan 1′s.
RELACION DE EQUIVALENCIA
Las relaciones de equivalencia son un concepto matem´atico definido sobre un conjunto
dado cualquiera. Como tantos otros conceptos matem´aticos, est´a basado en una idea
intuitiva, la representaci´on de relaciones del tipo: ciudades en una misma regi´on, alumnos
de la misma clase, instrucciones dentro del mismo bloque de c´odigo, enteros con el mismo
valor de m´odulo P, etc.
Definici´on 4.2 Una relaci´on de equivalencia sobre un conjunto C es una relaci´on R
que cumple las siguientes propiedades7:
Reflexiva. ∀a ∈ C; a R a
Sim´etrica. ∀a, b ∈ C; a R b ⇔ b R a
Transitiva. ∀a, b, c ∈ C; (a R b) ∧ (b R c) ⇒ (a R c)
